Тема: Делимость и остатки
1. Простые и составные
Решить уравнение в целых (или в натуральных) числах - значит найти все целые (натуральные) числа, являющиеся решениями уравнения. Например, для уравнения 3х + 10у = 59 пара чисел х = 3, у = 5 является его решением в целых (и в натуральных!) числах, так как 3 • 3 + 10 • 5 = 59 - верное равенство. Можно найти еще несколько пар
х и у, являющихся решением этого уравнения в целых числах: х = 13, у = 2;
х = 23, у= -1 и т.д. Но последняя пара не является решением в натуральных числах.
Задача. Решить уравнение в натуральных числах x^2 - y^2 = 303.
Решение. Применим формулу разности квадратов:
Выпишем попарно делители числа 303: 1 и 303, 3 и 101. Значит, возможны варианты:
х - у = 1, а х + у = 303, откуда х = 152, у = 151 - первое решение данного уравнения в натуральных числах,
х - у = 3, а х + у = 101, откуда х = 52, у = 49 - второе решение.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 10. Решить в натуральных числах уравнение x^2 - y^2 = 31 .
Задача 11. Решите в натуральных числах уравнение x^2 - y^2 = 69.
Задача 12. Может ли число, записываемое при помощи 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, быть точным квадратом?
Задача "не в тему №1". В одном стакане было молоко, в другом - столько же кофе. Из стакана молока перелили одну ложку в стакан с кофе и размешали. Затем такую же ложку смеси перелили обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: кофе в стакане с молоком или молока в стакане с кофе?
Задача "не в тему №2". На столе лежат в ряд четыре фигуры: треугольник, круг, прямоугольник и ромб. Они окрашены в разные цвета: красный, синий, желтый, зеленый. Известно, что красная фигура лежит между синей и зеленой; справа от желтой фигуры лежит ромб; круг лежит правее и треугольника, и ромба; треугольник лежит не с краю; синяя и желтая фигуры лежат не рядом. Определите, в каком порядке лежат фигуры и какого они цвета.
Ответы и решения
Задача 10. (х - у)(х + у) = 31. Делители числа 31 - это 1 и 31. Поскольку даем решением только в натуральных числах, то возможен только один вариант х - у = 1, а х + у = 31, откуда х = 16, а у = 15.
Ответ: х = 16, у = 15.
Если бы решали в целых числах, то рассмотрели бы и вариант х - у = 31, х + у = 1, откуда х = 16, а у = -15.
Задача 11. Делители числа 69: 1 и 69, 3 и 23. Для решения уравнения в натуральных числах имеются только такие варианты:
1) х - у = 1, х + у = 69, откуда х = 35, у = 34
2) х - у = 3, х + у = 23, откуда х = 13, у = 10.
Ответ: х = 35, у = 34 или х =13, у = 10.
Задача 12. Если сложить 100 нулей, 100 единиц и 100 двоек, то получится число 300, кратное 3, но не кратное 9. А точный квадрат обладает свойством: делится на само число и на его квадрат.
Ответ: нет, не может.
Задача "не в тему №1". Рассмотрим ситуацию после переливаний.
Объем стакана равен 1.
1 стакан 2 стакан
х - количество кофе в молоке у - количество кофе в молоке
но этот х равен 1 - у, поскольку всего 1 - у - количество молока в кофе
кофе х + у = 1.
1 - у - количество кофе в молоке
Итак, в первом стакане после переливания объем кофе равен 1 - у, во втором стакане объем молока равен также 1 - у, значит, делаем вывод, что кофе в стакане с молоком столько же, сколько молока в стакане с кофе.
Задача "не в тему №2".
Сначала разберемся с расположением цветов:
красная между синей и зеленой С К З или З К С
справа от желтой ромб Ж С К З или Ж З К С
синяя и желтая не рядом Ж З К С
Теперь с фигурами: Ж З К С
треугольник - - + -
круг - - - +
прямоугольник + - - -
ромб - + - -
Ответ: желтый прямоугольник, зеленый ромб, красный треугольник, синий круг.
но этот х равен 1 - у, поскольку всего 1 - у - количество молока в кофе
кофе х + у = 1.
1 - у - количество кофе в молоке
Итак, в первом стакане после переливания объем кофе равен 1 - у, во втором стакане объем молока равен также 1 - у, значит, делаем вывод, что кофе в стакане с молоком столько же, сколько молока в стакане с кофе.
Задача "не в тему №2".
Сначала разберемся с расположением цветов:
красная между синей и зеленой С К З или З К С
справа от желтой ромб Ж С К З или Ж З К С
синяя и желтая не рядом Ж З К С
Теперь с фигурами: Ж З К С
треугольник - - + -
круг - - - +
прямоугольник + - - -
ромб - + - -
Ответ: желтый прямоугольник, зеленый ромб, красный треугольник, синий круг.
Комментариев нет:
Отправить комментарий