занятие 4

Тема: ЧЁТНОСТЬ

4. Разные задачи

Задачи для самостоятельного решения

     Задача 23. Можно ли покрыть шахматную доску доминошками 1 × 2 так, чтобы свободными остались только клетки а1 и h8?

     Задача 24. К 17-значному числу прибавили число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке. Докажите, что хотя бы одна цифра полученной суммы чётна.

     Задача 25. По кругу расставлено 9 чисел - 4 единицы и 5 нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают. Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

     Задача 26. 25 мальчиков и 25 девочек сидят за круглым столом. Докажите, что у кого-то из сидящих за столом оба соседа - мальчики.

     Задача 27. Есть 101 монета, из которых 50 фальшивых, отличающихся по весу на 1 грамм от настоящих. Петя взял одну монету и за одно взвешивание на весах со стрелкой, показывающей разность весов на чашках, хочет определить, фальшивая ли она. Сможет ли он это сделать?

Ответы и решения.

     Задача 23. Каждая доминошка покрывает 2 клетки шахматной доски: черную и белую.

Клетки а1 и h8 черного цвета, значит, белых клеток останется на 2 больше, чем черных. Оставшиеся 2 белые клетки покрыть доминошкой не получится.

Ответ: нельзя

    Задача 24. В первую очередь обращаем внимание на то, что количество цифр в числе нечетное. Возможны варианты: все цифры числа четные (при сложении числа и его перевёртыша точно будет присутствовать четная цифра - последняя); все цифры нечетные (аналогично). И третья ситуация: присутствуют и четные, и нечетные цифры, причем их не может быть одинаковое количество.

     Рассмотрим более подробно последний случай. 

1) В центре данного числа и его перевёртыша стоит одинаковая цифра и, если при сложении цифр справа от центральной цифры не было перехода через десяток, то получается удвоенная центральная цифра, и это точно - четное число. Значит, одна четная цифра есть. 

2) На последнюю цифру суммы переход через десяток не влияет, и если там складывались цифры одинаковой четности, то четная цифра вновь найдена.

3) Если последние складываемые цифры разной четности и переход через десяток справа от центральной цифры (или еще правее) был, значит, он был и слева (симметрично) от центральной цифры. И тогда в какой-то момент обязательно произойдет смена четности в симметричных относительно центральной цифры столбцах.

     Задача 25. Чтобы получить девять единиц, надо, чтобы на предыдущем шаге было 9 нулей. Как можно получить 9 нулей? Надо, чтобы на предыдущем шаге цифры чередовались, но это невозможно, так как нулей больше.

Ответ: нет, не могут

     Задача 26. Ситуации, когда дети чередуются или есть 3 или более подряд сидящих мальчика не рассматриваем, тут доказывать нечего. Ситуация, когда слева и справа от каждого мальчика сидят 2 и более девочек, невозможна, так просто не хватит мальчиков и где-то их окажется три и более.  В худшем случае все девочки и все мальчики сидят парами. Обозначим количество мальчиков через m, но тогда и количество девочек тоже m. У нас имеется 25 пар, удовлетворяющих условию: 2m + 2m = 50. Это уравнение не имеет решения, то есть ситуация с девочками и мальчиками, сидящими парами, невозможна. А во всех остальных случаях, рассмотренных выше, условие задачи выполняется.

     Задача 27. Как оказалось, задача не столько "на взвешивание", сколько "на чётность"!

Откладываем взятую Петей монетку в сторону. Остальные делим на две равных кучки и кладем на весы. Если монетка фальшивая, то разность в весе этих двух кучек окажется нечётной (фальшивая легче на 1 грамм). Если разность в весе этих кучек будет чётной, то монетка настоящая.