Тема: Делимость и остатки
1. Простые и составные
Простые числа (имеющие только 2 делителя) являются "кирпичиками", из которых можно построить все остальные числа. Основная теорема арифметики гласит: каждое натуральное число, за исключением единицы, раскладывается в произведение простых сомножителей, причем единственным образом.
1. Делится ли 29• 3 на 2?
Ответ: да, так как 2 входит в разложение этого числа на простые множители.
2. Делится ли 29• 3 на 5?
Ответ: нет, потому что в разложении этого числа на простые множители нет простого числа 5.
3. Делится ли 29• 3 на 8?
Ответ: да поскольку 8 = 23, а в разложение данного числа на простые множители двойка входит 9 раз.
4. Делится ли 29• 3 на 9?
Ответ: нет, так как в разложение данного числа на простые множители тройка входит лишь один раз, а в разложение числа 9 - дважды.
5. Делится ли 29• 3 на 6?
Ответ: да, потому что 6 = 2 • 3, а 2 и 3 входят в разложение данного числа на простые множители.
6. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 3, то оно делится на 12?
Ответ: да. Если число делится на 4. то в его разложение на простые множители двойка входит по крайней мере 2 раза. Поскольку число делится и на 3, то в его разложение входит и тройка. Поэтому оно делится на 12.
7. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24?
Ответ: нет! Например, число 12. дело в том, что если число делится на 4, то в его разложение двойка входит по крайней мере дважды; из делимости числа на 6 следует, что в его разложении есть 2 и 3. Таким образом, в этом разложении точно есть две (не три!) двойки и одна тройка, и можно утверждать лишь то, что это число делится на 12.
8. Число А не делится на 3. Может ли на 3 делиться число 2А?
Ответ: нет, поскольку тройка точно не входит в разложение на простые множители числа 2А.
9. Число А - четно. Верно ли, что 3А делится на 6?
Ответ: да, так как 2 и 3 входят в разложение числа 3А на простые множители.
10. Число 5А делится на 3. Верно ли, что А делится на 3?
Ответ: да, потому что в разложение числа 5А на простые множители тройка входит, а в разложение числа 5 - нет.
11. Число 15А делится на 6. Верно ли, что А делится на 6?
Ответ: нет. Например, А = 2. Дело в том, что тройка, входящая в разложение числа 6, входит и в разложение числа 15. Поэтому можно утверждать лишь то, что в разложении числа А обязательно есть двойка.
Ответ: да, потому что 6 = 2 • 3, а 2 и 3 входят в разложение данного числа на простые множители.
6. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 3, то оно делится на 12?
Ответ: да. Если число делится на 4. то в его разложение на простые множители двойка входит по крайней мере 2 раза. Поскольку число делится и на 3, то в его разложение входит и тройка. Поэтому оно делится на 12.
7. Верно ли, что если натуральное число делится на 4 и на 6, то оно делится на 24?
Ответ: нет! Например, число 12. дело в том, что если число делится на 4, то в его разложение двойка входит по крайней мере дважды; из делимости числа на 6 следует, что в его разложении есть 2 и 3. Таким образом, в этом разложении точно есть две (не три!) двойки и одна тройка, и можно утверждать лишь то, что это число делится на 12.
8. Число А не делится на 3. Может ли на 3 делиться число 2А?
Ответ: нет, поскольку тройка точно не входит в разложение на простые множители числа 2А.
9. Число А - четно. Верно ли, что 3А делится на 6?
Ответ: да, так как 2 и 3 входят в разложение числа 3А на простые множители.
10. Число 5А делится на 3. Верно ли, что А делится на 3?
Ответ: да, потому что в разложение числа 5А на простые множители тройка входит, а в разложение числа 5 - нет.
11. Число 15А делится на 6. Верно ли, что А делится на 6?
Ответ: нет. Например, А = 2. Дело в том, что тройка, входящая в разложение числа 6, входит и в разложение числа 15. Поэтому можно утверждать лишь то, что в разложении числа А обязательно есть двойка.
Напоминалка
- Два числа называются взаимно простыми, если у них нет общих делителей, отличных от единицы. Два разных простых числа, конечно, являются взаимно простыми.
- Если некоторое число делится на два взаимно простых числа m и n, то оно делится и на их произведение nm.
- Если число pА делится на q, где p и q взаимно просты, то и А делится на q.
- Наибольшим большим делителем двух чисел называется наибольший из общих делителей этих чисел.
- Наименьшим общим кратным двух чисел называется наименьшее число, делящееся на каждое из них.
- А = 23 • 310 • 5 • 72, В = 25 • 3 • 11. Чему равен НОД (А, В)? Ответ: 24 = 23 • 3. Это общая часть разложений.
- А = 28 • 53 • 7, В = 25 • 3 • 57. Чему равен НОК (А, В)?
Задачи для самостоятельного решения.
Задача 1. p и q - различные простые числа. Сколько делителей у числа а) pq; б) p^2q ; в) p^2q^2; г) p^nq^m?
Задача 2. Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
Задача 3. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.
Задача 4. p простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p^2 и взаимно простых с ним ?
В задачах на доказательство нужно писать все логические рассуждения так, чтобы проверяющему на олимпиаде не приходилось ничего за вас додумывать!!!!
Задача "не в тему". Как расположить на плоскости стола несколько пятаков, чтобы каждый из них касался ровно трех других?
Задача 2. Докажите, что произведение любых трех последовательных натуральных чисел делится на 6.
Задача 3. Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится а) на 30; б) на 120.
Задача 4. p простое число. Сколько существует натуральных чисел а) меньших p и взаимно простых с ним; б) меньших p^2 и взаимно простых с ним ?
В задачах на доказательство нужно писать все логические рассуждения так, чтобы проверяющему на олимпиаде не приходилось ничего за вас додумывать!!!!
Задача "не в тему". Как расположить на плоскости стола несколько пятаков, чтобы каждый из них касался ровно трех других?
Ответы и решения.
Задача 1. а) 4 делителя: 1, p, q, pq
б) 6 делителей: 1, p, q, pq, p^2, p^2q.
в) 9 делителей: 1, p, q, pq, p^2, q^2, p^2q, pq^2, p^2q^2.
г) (n + 1)(m + 1) делителей
В задаче г) требуется провести небольшое исследование. Ознакомьтесь с ним внимательно (перестановка показателей n и m пусть вас не смущает, на ответ это не влияет).
Задача 2. Среди трех последовательных натуральных чисел обязательно есть хотя бы одно четное число, а также число, кратное 3. Итак, произведение трех последовательных натуральных чисел кратно 2 и 3, а, значит, кратно 6.
Задача 3. а) среди пяти последовательных натуральных чисел точно есть четное число, есть число, кратное 3 и число кратное 5. Алёна, возражений нет? Значит, произведение данных пяти чисел будет кратно произведению двойки, тройки и пятерки. А оно равно 30.
б) среди пяти последовательных натуральных чисел обязательно встретится хотя бы два четных числа, каждое из которых кратно 2, причем, одно из них будет кратно еще и 4 (проверьте несколько цепочек и вы убедитесь, что это неоспоримый факт). Добавим сюда из пункта а) наличие кратности 3 и 5, получаем что данное произведение кратно 2, 3, 4 и 5, а значит, кратно 120.
Задача 4. а) Вспомните, как происходило "высеивание" простых чисел через решето Эратосфена. Каждое найденное вновь простое число точно не делится на все предыдущие числа (кроме 1). А сама единичка взаимно проста со всеми натуральными числами. Таким образом, все стоящие в натуральном ряду числа до p являются с ним взаимно простыми, то есть их будет
p - 1 штук.
Ответ: p - 1
б) среди p^2 чисел будет ровно p чисел, кратных p, их надо исключить, так как они не будут взаимно простыми с p, а все остальные будут.
Ответ: p^2 - p.
p = 2, р в квадрате = 4, делители: 1, 2, 3, 4. Итого: 2 делителя
р = 3, р в квадрате = 9, делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Итого: 6 делителей
p = 5, р в квадрате = 25, делители: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25. Итого: 20 делителей.
и так далее...
Задача "не в тему". Задача решена!!! Максим Гребнев смог это сделать!!!
Пятаков не нашлось, но сути это не меняет.
Комментариев нет:
Отправить комментарий