занятие 2

Тема: ЧЁТНОСТЬ

2. Разбиение на пары

     Задача 7. Можно ли нарисовать 9-звенную замкнутую ломаную, каждое звено которой пересекается ровно с одним из остальных звеньев?

     Решение. Обратите внимание, что в отличие от рисунка на занятии 1, звенья ломаной могут пересекать друг друга. Если бы условие задачи было выполнимо, то все звенья ломаной разбились бы на пары пересекающихся: 1-2, 1-3, ..., 2-3, 2-4, ... ..., 8-9. Но чтобы эти пары образовались, звеньев ломаной должно быть четное количество. Вывод: такую ломаную изобразить нельзя.

     Ключевой момент рассуждения: если предметы можно разбить на пары, то их количество - чётно!

     Задача 8. Можно ли доску размером 5 × 5 заполнить доминошками размером 1 × 2?

     Задача 9. Все костяшки домино выложили в цепь. На одном конце оказалось 5 очков. Сколько очков на другом конце?

     Задача 10. Из набора домино выбросили все кости с "пустышками". Можно ли оставшиеся кости выложить в ряд?

     Задача 11. Можно ли выпуклый 13-угольник разрезать на параллелограммы?

Это пример выпуклого 7-угольника (13-угольник соответственно имеет не 7, а 13 вершин).

     

А так выглядит параллелограмм

Задача 12. На доске 25 × 25 расставлены 25 шашек, причем их расположение симметрично относительно диагонали. Докажите, что одна из шашек расположена на диагонали. 

Задача "не в тему". На столе лежат 4 карточки, на которых сверху написано: А, Б, 4, 5. Какое наименьшее количество карточек и какие именно надо перевернуть, чтобы проверить, верно ли утверждение: "Если на одной стороне карточки написано четное число, то на другой стороне карточки - гласная буква"?

Ответы и решения

Задача 8. Доска 5 × 5 имеет 25 клеток, а каждая доминошка занимает 2 клетки. Поскольку 25 на 2 не делится, то ответ отрицательный.

Задача 9. Внутри цепочки все числа встречаются парами. Если цепочка начинается с 5-ки, то и заканчивается парной ей 5-кой.                                                                               

Для сведения: 

всего костяшек домино 28, половинок с пятёрками - 8.

Ответ: 5 очков

Задача 10. Выбросили все кости с пустышками, их 7, осталось 21 доминошка: половинок с единичками - 7, с двойками - 7 и так всех по 7. Но чтобы цепь собралась, надо, чтобы половинок было четное количество: либо внутри встречающихся попарно, либо одинаковые по концам цепи.
Ответ: нет, нельзя.

Задача 11. У параллелограмма противоположные стороны параллельны. Если удастся многоугольник разрезать на параллелограммы, значит, каждая из его сторон должна быть параллельна какой-то другой его стороне. Таким, образом, все стороны должны разбиться на пары параллельных, но их нечётное количество.
Ответ: нет, нельзя.

Задача 12. Симметричная расстановка шашек означает их разбиение на пары: слева-справа от диагонали, но тогда шашек должно быть чётное количество.  Однако, шашка, стоящая на диагонали, считается симметричной самой себе. Таким образом, ХОТЯ БЫ одна из шашек расположена на диагонали.

Задача "не в тему".
В первую очередь, проверяем карточку с цифрой "4", с обратной стороны должна быть гласная буква, иначе утверждение ложно. 
Далее проверяем карточку с буквой "Б": вдруг с другой стороны чётная цифра, а буква-то - согласная, и тогда утверждение неверно.
Ответ: две карточки нужно проверить обязательно: "4" и "Б".