занятие 6

              

                                                                     Тема: Комбинаторика

     Задача 11. Назовем натуральное число "симпатичным", если в его записи встречаются только нечетные цифры. Сколько существует 4-значных "симпатичных" чисел?

     Решение. Однозначных "симпатичных" чисел ровно 5. К каждому однозначному "симпатичному" числу вторая нечетная цифра может быть дописана пятью различными способами. Таким образом, двузначных "симпатичных" чисел всего 5 • 5 = 25. Аналогично, трехзначных "симпатичных" чисел 5 • 5 • 5 = 125, и четырехзначных: 5 • 5 • 5 • 5 = 5⁴ = 625

     В этой задаче ответ имеет вид mⁿ. К такому ответу приводят задачи, в которых на каждом из n мест может быть поставлен один из m  элементов.
     Задача 12. Монету бросают трижды. Сколько разных последовательностей орлов и решек можно при этом получить?
     Решение. Здесь n = 3, так как в каждом из трех бросков может выпасть любая из двух возможностей: решка или орел.      ООО, ООР, РОО, ОРО, ОРР, РРО, РОР, РРР. 
И все-таки понятнее метод точек: при первом броске - 2 выбора, при втором - 2 выбора, при третьем - 2 выбора, перемножаем!
Ответ:  2³.
     Задача 13. Каждую клетку квадратной таблицы 2х2 можно покрасить в черный или белый цвет. Сколько существует различных раскрасок этой таблицы? 
     Решение: на каждом из четырех мест может оказаться любая из двух красок: черная или белая.   ББББ, БББЧ, ББЧБ, БЧББ, ЧБББ, ББЧЧ, БЧЧБ, ЧЧББ, ЧБЧБ, БЧБЧ, ЧББЧ, БЧЧЧ, ЧБЧЧ, ЧЧБЧ, ЧЧЧБ, ЧЧЧЧ.
Снова работает метод точек: 2 • 2 • 2 • 2 = 16.
Ответ: 2⁴.

 

Задачи для самостоятельного решения.

NB! Меня интересуют ваши рассуждения, а не одни ответы!!!!

     Задача 14. Сколькими способами можно заполнить карточку в лотерее "Спортпрогноз"? (В этой лотерее нужно предсказать итог тринадцати спортивных матчей. Итог каждого матча - победа одной из команд либо ничья; счет роли не играет). 

     Задача 15. Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

     Задача 16. Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно использовать трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?

     Задача "не в тему №1". В коробке с карандашами есть карандаши разной длины и есть карандаши разного цвета. Докажите, что есть два карандаша, отличающиеся и по цвету, и по длине.

     Задача "не в тему №2". Встретились несколько аборигенов, и каждый из них заявил остальным: "Вы все - лжецы". Сколько рыцарей могло быть среди этих аборигенов? (в таких задачах действие происходит на острове, коренными жителями которого являются рыцари, которые всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут).

Ответы и решения

Задача 14. Возможных исходов каждого матча - три: победа команды-1, победа команды-2 или ничья. Таким образом, получаем 3¹³ способов заполнения карточки.

Задача 15. Количество слов, состоящих из одной буквы - 3, из двух - 3², из трех - 3³, из четырех - 3⁴, а всего - 120 слов.

Задача 16. Первое письмо можно отдать любому из курьеров, то есть 3 способа его доставки, второе - так же три способа и т.д. Всего получается 3⁶ = 729 способов доставки.

Задача "не в тему №1" (очень логическая задача!). Будем вынимать карандаши из коробки, следуя определенным условиям и рассмотрим все возможные варианты.

1) Выберем самый маленький карандаш и достанем из коробки все карандаши такой же длины, если они есть. Если они оказались разного цвета, то утверждение доказано. Если разного, то в коробке точно остался карандаш другого цвета (по условию) и другой длины (одинаковую длину мы достали).

2) При выборе самого маленького карандаша не оказалось равных ему по длине. Тогда выбираем из оставшихся карандаш другого цвета, он точно есть по условию. Утверждение доказано. Попробуйте обыграть эту задачу и всё станет понятно.

Задача "не в тему №2". Предположим, что рыцарь только один, тогда его заявление правдиво, а заявление каждого лжеца - лживо. Так и должно быть. Если же рыцарей двое, то заявление "Вы все - лжецы" из их уст окажется ложью. Итак, рыцарей не может быть более одного. А если рыцарей нет вообще среди собравшихся? Тогда заявления лжецов окажутся правдивыми, а это противоречит главному условию. Итак, рыцарь среди собравшихся аборигенов мог быть только один.