занятие 12

Тема: Делимость и остатки

2. Остатки

     Предположим, что вы подошли к автомату с газированной водой, стоимость которой 3 копейки. У вас в кармане 15-копеечная монета. К счастью, рядом находится чудесная разменная касса, выдающая трехкопеечные монеты. Понятно, что в обмен на свою монету вы сможете получить пять трехкопеечных. А если у вас была 20-копеечная монета? Тогда, конечно, вы получите 6 трехкопеечных монет и две копейки сдачи. Запишем: 20 = 6 • 3 + 2. Это запись деления числа 20 на 3 с остатком.

     Как же работает касса? Она отсчитывает трехкопеечные монеты по одной до тех пор, пока сумма, которую ей осталось выплатить, не станет меньше 3. После этого она выдает сдачу - остаток. Ясно, что этим остатком может быть любое из трех чисел: 0, 1, 2. Остаток равен нулю, если исходное число делится на 3 нацело.

     Аналогично, можно представить себе автомат, выдающий m-копеечные монеты и сдачу от 0 до (m-1) копейки. Этот автомат осуществлял бы деление на m с остатком.

     Итак, разделить натуральное число N на натуральное число m с остатком означает представить число N в виде N = km + r, где r - остаток, который может принимать любые значения от 0 до m (может быть равен 0, но не равен m).

     Задача. Человек одновременно опустил в чудесную кассу 22 монеты по 50 коп и 44 монеты по 10 коп. Какую сдачу он получит?

Решение. Надо найти остаток от деления 22 • 50 + 44 • 10 на 3. При этом вычислять значение самого выражения не надо!

Важный приём! Заменим каждое из чисел на его остаток от деления на 3, получим: 1 • 2 + 2 • 1 = 4, это число дает остаток 1 при делении на 3. Так вот и выражение 22 • 50 + 44 • 10 также дает остаток 1 при делении на 3. ПОЧЕМУ? Читаем (очень вдумчиво!) следующие утверждения:

1. Произведение любых двух натуральных чисел и произведение их остатков имеют одинаковые остатки при делении на 3. (22 • 50 - сначала просто перемножим, получим 1100, поделим на 3 и увидим, что остаток равен 2; а теперь будем действовать другим способом, используя важный прием. Найдем и  перемножим остатки от деления каждого множителя при делении на 3: 1 • 2 = 2, снова получаем остаток 2).

2. Сумма любых двух натуральных чисел и сумма их остатков имеют одинаковые остатки при делении на 3. (1100 + 440 = 1540 - остаток 1; при сложении остатков 2 + 2 = 4 - остаток 1).

     Ответ: человек получит сдачу 1 копейку.

Данные два утверждения нужно ВЫУЧИТЬ!!! Только надо понимать, что они работают не только при делении на 3, но и при делении на любое натуральное число!

Задачи для самостоятельного решения

     Задача 13. Найдите остаток от деления на 4 числа 2013 • 2014 • 2015.

     Задача 14. Найдите остаток от деления на 8 числа 9^100 

     Задача 15. Найдите остаток от деления на 7 числа

     
     Задача "не в тему №1". Какое слово зашифровано: 222122111121? Каждая буква заменена своим номером в русском алфавите.

     Задача "не в тему №2". На сколько увеличится четырехзначное число, если его цифры записать в обратном порядке?

Ответы и решения

     Задача 13. Находим остатки от деления каждого множителя на 4 и перемножаем их: 

1 • 2 • 3  = 6, при делении 6 на 4 получаем остаток 2, это и будет ответом.

Ответ: остаток 2

Обратите внимание, что вычислять нужно только остаток для первого числа, другие два выскакивают автоматически.

     Задача 14. При делении каждой девятки на 8 получаем остаток 1, а у нас 100 таких девяток, перемножаем все сто остатков и получаем 1.

Ответ: остаток 1

     Задача 15. Находим и перемножаем остатки в первом слагаемом: 1 • 2 • 3 = 6, находим остаток для второго слагаемого: 4 • 4 • 4 = 64. Складываем остатки: 6 + 64 = 70. Но чудесная разменная касса продолжает работать: делим 70 на 7 и получаем остаток 0.

Ответ: остаток 0

     Задача "не в тему №1". Находим возможные комбинации цифр: 2 - б, 22 - ф, 1 - а, 12 - к, 21 - у, 11 - й. А далее из соображений здравого смысла составляем слово

Ответ: фуфайка

     Задача "не в тему №2".                   Пусть       

       - данное число. Тогда его можно записать в виде суммы разрядных слагаемых: 1000a + 100b + 10c + d. Теперь запишем цифры в обратном порядке и полученное число также представим в виде суммы разрядных слагаемых: 1000d + 100c + 10b + a. Осталось из второй суммы вычесть первую:

(1000d + 100c + 10b + a) - (1000a + 100b + 10c + d) = (1000d - d) + (100c - 10c) +  (10b - 100b) + (a - 1000a) = 999d + 90c - 90b - 999a.

Ответ: число увеличится на 999d + 90c - 90b - 999a.

Если бы в условии задачи было сказано, что цифры в числе последовательны, то решение приняло вид: 1000a + 100(a + 1) + 10(a + 2) + (a + 3) = 1111a + 123 - это данное число; 1000(a + 3) + 100 (a + 2) + 10(a + 1) + a = 1111a + 3211. Разность равна: 3210 - 123 = 3087. И ответ бы выразился конкретным числом: 3087.

Алена, этого условия в задаче не было!!! А вот в интернете задача сформулирована именно с последовательными цифрами числа!