занятие 10

Тема: Делимость и остатки

1. Простые и составные

Задачи для самостоятельного решения

     Задача 5. Каково наименьшее натуральное n, такое, что n! делится на 990?

     Задача 6. Может ли n! оканчиваться ровно на 5 нулей?

     Задача 7. На сколько нулей оканчивается число 100!  ?

     Задача 8. Докажите, что число, имеющее нечётное число делителей, - точный квадрат. (точные квадраты - это 1, 4, 9, 16 ...  Мы с вами наблюдали это явление, здесь надо просто описать свои наблюдения и сделать вывод в общем виде).

     Задача 9. Вася написал на доске пример на умножение двух двузначных чисел, а затем заменил в нем все цифры на буквы, причем одинаковые цифры - на одинаковые буквы, а разные - на разные. В итоге у него получилось АБ  •  ВГ = ДДЕЕ. Докажите, что он где-то ошибся. 

     Задача "не в тему". За один ход число, записанное на доске, разрешается либо заменить на удвоенное, либо стереть у него последнюю цифру. Вначале на доске написано число 458. Как за несколько ходов получить число 14?

Ответы и решения

     Задача 5. В разложении числа 990 на простые множители присутствуют числа 3, 3, 2, 5 и 11. Значит, число n должно быть не меньше 11, а 11! содержит все перечисленные множители.

Ответ: n = 11

     Задача 6. Используем простой перебор: 10! - 2 нуля, 20! - 4 нуля, 30! - 7 нулей. Вернемся немножко назад: 24! - 4 нуля, 25! - сразу 6 нулей.

Ответ: нет, не может

     Задача 7. Как мы понимаем, нули добавляются за счет чисел, оканчивающихся на 0,  их 10, но 100 даёт сразу 2 нуля, всего 11. Далее, числа, оканчивающиеся на 5 в произведении с четными числами дают еще 10 нулей. И еще 3 числа 25, 50 и 75 в произведении с четными числами дают дополнительные три нуля. Итого: 11 + 10 + 3 = 24 нуля.

Вообще, нужно было очень тщательно посчитать количество пятерок: в каждом десятке их 2, то есть всего 20, а числа 25, 50, 75 и 100 добавляют еще 4 пятерки. 

Ответ: на 24 нуля

     Задача 8. Чтобы перечислить все делители числа, удобно это делать парами: называем делитель и результат от деления числа на этот делитель (он ведь тоже является делителем). Когда же число является точным квадратом, в данной паре делитель и результат деления оказываются одинаковыми, но считать их 2 раза не надо. Потому и получается нечетное количество делителей. Например, делители числа 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9, 6 и 6, а всего 9 делителей.

Запомните эту формулировку: если число имеет нечетное количество делителей, то это - точный квадрат!

     Задача 9. Внешний вид числа ДДЕЕ говорит о том, что это число кратно 11, но тогда хотя бы один из множителей должен быть кратным 11, а там таких нет.

     Задача "не в тему". Один из вариантов: 458-45-90-180-18-36-72-144-14 (8 ходов).