Школа олимпийского резерва. Математика: занятие 1

Тема: ЧЁТНОСТЬ

Несмотря на свою простоту, соображение о четности-нечетности возникает при обсуждении самых разных вопросов и оказывается полезным при решении многих (в том числе и трудных) задач.

1. Чередование

Задача 1. На плоскости расположено 11 шестерёнок, соединенных по цепочке (см. рисунок). Могут ли все шестерёнки вращаться одновременно?
Решение. Предположим, что первая шестерёнка вращается по часовой стрелке. Тогда вторая шестерёнка должна вращаться против часовой стрелки. Третья - снова по часовой, четвертая - против и т.д. Ясно, что "нечетные" шестерёнки должны вращаться по часовой стрелке, а "четные" - против. Но тогда 1-ая и 11-ая шестерёнки одновременно вращаются по часовой стрелке. Противоречие.
Главным при решении этой задачи оказалось то, что шестерёнки, вращающиеся по часовой стрелке и против, - чередуются. Нахождение чередующихся объектов - основное соображение при решении следующих задач.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 2. Конь вышел с поля а1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.

Задача 3. Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

Задача 4. Может ли прямая, не содержащая вершин замкнутой 11-звенной ломаной, пересекать все ее звенья?

Задача 5. На хоккейном поле лежат три шайбы А, В и С. Хоккеист бьёт по одной из них так, что она пролетает между двумя другими. Так он делает 25 раз. Могут ли после этого шайбы оказаться на исходных местах?

Задача 6. Катя и ее друзья встали по кругу. Оказалось, что оба соседа каждого ребенка - одного пола. Мальчиков среди Катиных друзей - пять. А сколько девочек?

Ответы и решения.

Задача 2. Прежде всего отметим, что шахматное поле имеет размеры 8 × 8, всего 64 клетки, цвет клеток чередуется: черный-белый, черный-белый…

Необходимо запомнить, как ходит шахматный конь, так как это применяется во многих задачах. Конь может пойти на любое поле доски, не занятое фигурой его цвета, если она располагается на другом конце русской буквы Г (то есть вначале конь перемещается на два поля по горизонтали или по вертикали, а затем на одну клетку перпендикулярно первоначальному направлению). Основное отличительное свойство — смена цвета поля при каждом ходе. https://youtu.be/zaZ8hkMj7v8

Таким образом, при каждом нечетном ходе происходит смена цвета поля по сравнению с первоначальным, при каждом четном ходе – цвет поля меняется на первоначальный. Конь вышел с поля а1 и вернулся на него, то есть цвет не изменился, значит, конь сделал четное число ходов.

Задача 3. Может ли конь пройти с поля а1 на поле h8, побывав по дороге на каждом из остальных полей ровно один раз?

По условию задачи конь должен сделать 63 хода (побывать на каждом из остальных полей! ровно один раз!). Но последний 63-ий ход – нечетный, а это влечёт за собой смену цвета поля. Сравним цвета полей а1 и h8: они одинаковы!

Ответ: нет, не может.

Задача 4. Это пример 11-звенной замкнутой ломаной. Она может выглядеть и по-другому. Прямая (изображена красным цветом), пересекающая все звенья ломаной, по условию не должна проходить через ее вершины.

Видим, что любые две соседние вершины такой ломаной находятся по разные стороны от красной прямой, то есть в разных полуплоскостях (условно назовем их левая и правая).

Итак, попытаемся обойти контур ломаной, переходя из одной вершины в следующую, имея в виду, что каждое звено ломаной должно быть пересечено красной прямой. Каждый раз, пересекая прямую, мы будем оказываться в другой полуплоскости: левая-правая, левая-правая… Закончив обход, мы должны бы оказаться в правой полуплоскости (нечет-чёт, нечет-чёт…). Но точка А, из которой мы начали обход, лежит в левой полуплоскости. Пришли к противоречию. Всё дело в том, что количество вершин – нечётное!!

Ответ: нет, не может

Задача 5.

Решение задачи очень похоже на решение предыдущей. На 25 ударе шайба окажется в другой полуплоскости, нежели была изначально.

Ответ: нет, не могут

Задача 6. "оба соседа каждого ребенка - одного пола". Если предположить, что у каждой девочки соседями являются девочки, то окажется, что в круге стоят только девочки, это противоречит условию. Если предположить, что у каждой девочки соседи - мальчики, то это означает, что мальчики и девочки чередуются. Значит, мальчиков и девочек одинаковое количество.