занятие 3

Тема: ЧЁТНОСТЬ

3. Четность и нечетность

Задача 16. Можно ли разменять 25 рублей при помощи десяти купюр достоинством в 1, 3 и 5 рублей?

Решение. Чтобы определить характер четности нескольких слагаемых, нужно посчитать количество нечетных слагаемых. Если количество нечетных слагаемых четно, то и вся сумма четна, если количество нечетных слагаемых нечетно, то и вся сумма нечетна.

Купюр по условию десять и все они нечетные, а сумма четного числа нечетных чисел будет четной. Таким образом, нечетное количество в 25 рублей невозможно разменять при помощи предложенных купюр.

Задачи для самостоятельного решения.

Задача 17. Петя купил общую тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все ее страницы по порядку числами от 1 до 192. Вася вырвал из этой тетради 25 листов и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Могло ли у него получиться 2016?

Задача 18. Произведение 22 целых чисел равно 1. Докажите, что их сумма не равна 0.

(Шестиклассникам эта задача пока не "по зубам", здесь участвуют отрицательные числа, но можно и попробовать!).

Задача 19. Можно ли составить магический квадрат из первых 36 простых чисел?

Задача 20. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки "+" и "-" так, чтобы значение полученного выражения было равно нулю. (Тоже отрицательные. Обратите внимание: отрицательные числа также бывают четными и нечетными).

Задача 21. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй раз - на 2 см и так далее. Докажите, что после 1985 прыжков он не может оказаться там, где начинал. 

Задача 22. На доске написаны числа 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Разрешается стереть с доски любые два числа и вместо них написать модуль их разности. В конце концов на доске останется одно число. Может ли оно равняться нулю?

Задача "не в тему". Есть 9 монет, одна из которых фальшивая (она легче настоящих). За два взвешивания определите фальшивую монету.

Ответы и решения

Задача 17. Если сложить 2 числа на любой странице, то сумма будет нечетной (чёт + нечет = нечет). Всего требуется сложить 25 таких нечетных сумм. Если количество нечетных слагаемых нечетно, то и вся сумма нечетна. Таким образом, число 2016 получиться не могло.
Ответ: нет

Задача 18. Числа по условию - целые, значит, единица может получиться только при умножении 22 единиц, взятых либо со знаком "+", либо со знаком "-". При этом количество отрицательных единиц должно быть четным. А чтобы сумма равнялась 0, количество +1 и -1 должно быть одинаковым, по 11 штук. Пришли к противоречию. Значит, сумма данных 22 целых чисел не может равняться 0.
Ответ: нет

Задача 19. 

На картинке для примера показан магический квадрат из 36 простых чисел. Но!!! По условию нашей задачи в квадрате должны быть использованы 36 первых простых чисел, а, значит, там будет единственное четное простое число - это 2. Во всех строках (столбцах, диагоналях), где нет двойки, все 6 чисел будут нечетными, а их сумма будет четной, так как если количество нечетных слагаемых четно, то и вся сумма четна. Там же, где будет двойка, будет одно четное слагаемое и 5 нечетных, сумма в результате получится нечетная. А в магическом квадрате все суммы по строкам, столбцам и диагоналям должны быть равными!

Ответ: нет

Задача 20. Для начала возьмем все числа со знаком "+", получим сумму 55, она нечётна, потому что в сумме участвуют 5! нечётных слагаемых. Если некоторые из знаков "+" (неважно, сколько) заменить на "-", количество нечётных слагаемых от этого НЕ ИЗМЕНИТСЯ! А значит, сумма всё время будет получаться нечётной. А число 0 к нечётным не относится.

Ответ: при любой расстановке знаков не может получиться 0

Задача 21. Давайте представим, что прыжки вправо - со знаком "+", а влево - со знаком "-". По аналогии с предыдущей задачей просуммируем все числа от 1 до 1985 (если бы кузнечик прыгал только вправо). В этой сумме будет нечётное количество нечётных слагаемых. Как я это узнала? Поделим число 1985 на 4, получим остаток 1, это и означает, что нечётных слагаемых будет нечётное количество (это надо будет обсудить особо!!)
Ну а теперь заменяем некоторые "правые" прыжки на "левые", характер чётности в сумме не изменится, об этом говорилось в предыдущей задаче. Значит, сумма при любом раскладе будет нечётной и нулю она равняться не будет.
Ответ: после 1985 прыжков кузнечик не сможет вернуться в исходную точку.

Задача 22. В эту задачу надо просто "поиграть" с нечётным количеством нечётных слагаемых (поменьше, чем 1985). Изначально сумма этих чисел будет нечётной (количество нечётных слагаемых нечётно). В ходе игры вы заметите, что каждый раз в результате проделанной операции характер чётности суммы не меняется, она остается нечётной. Стало быть, 0 получиться не может.

Задача "не в тему". 
1 шаг. Делим на три кучки, сравниваем две из них. Если в равновесии, то фальшивая монета в третьей кучке.  Если нет, то обнаружили более легкую кучку.
2 шаг. Из легкой кучки сравниваем две монеты. Либо при взвешивании обнаруживается более легкая, либо она лежит в сторонке.

Особые рассуждения для задачи 21 (исследование).
Попробуйте найти закономерность, выполнив упорядоченный перебор для различных сумм последовательных чисел. Сколько в каждой сумме нечетных слагаемых? Когда их получается нечётное количество?